rings ne demek?

Yüzük (Rings), matematiksel bir yapıdır ve cebirin önemli bir dalını oluşturur. Temelde, üzerinde iki işlem tanımlanmış bir kümedir: toplama (+) ve çarpma (×). Bu işlemlerin belirli aksiyomları (kuralları) sağlaması gerekmektedir.

Yüzük Tanımı:

Bir R kümesi ve üzerinde tanımlı iki işlem, toplama (+) ve çarpma (×), aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa, bu yapıya yüzük denir:

1. Toplama altında değişmeli grup:

   • Kapalılık: Her a, b ∈ R için, a + b ∈ R.
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a + b) + c = a + (b + c).
   • Etkisiz eleman: R'de öyle bir 0 elemanı vardır ki, her a ∈ R için, a + 0 = 0 + a = a.
   • Ters eleman: Her a ∈ R için, R'de öyle bir -a elemanı vardır ki, a + (-a) = (-a) + a = 0.
   • Değişme: Her a, b ∈ R için, a + b = b + a.

2. Çarpma altında yarı grup:

   • Kapalılık: Her a, b ∈ R için, a × b ∈ R.
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a × b) × c = a × (b × c).

3. Dağılma özelliği:

   • Her a, b, c ∈ R için, a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ve (b + c) × a = (b × a) + (c × a).

Önemli Yüzük Türleri:

• Değişmeli Yüzük (Değişmeli%20Yüzük): Çarpma işleminin değişme özelliğine sahip olduğu yüzükler. Yani, her a, b ∈ R için, a × b = b × a.
• Birimli Yüzük (Birimli%20Yüzük): Çarpma işlemine göre birim elemanı (1) olan yüzükler. Yani, R'de öyle bir 1 elemanı vardır ki, her a ∈ R için, a × 1 = 1 × a = a.
• Tamlık Bölgesi (Integrity Domain): Sıfır böleni olmayan, değişmeli ve birimli yüzükler. (Tamlık%20Bölgesi) Sıfır böleninin (Sıfır%20Böleni) olmaması a * b = 0 olduğunda ya a=0 ya da b=0 olması demektir.
• Cisim (Field): Her sıfırdan farklı elemanın çarpma işlemine göre tersi olan, değişmeli ve birimli yüzükler. Başka bir deyişle, bir cisim, toplama ve çarpma altında birer gruptur ve çarpma işlemi toplama üzerine dağılır.
• Bölüm Yüzüğü (Bölüm%20Yüzüğü): Bir yüzükten elde edilen yeni bir yüzük türüdür.

Örnekler:

• Tam sayılar kümesi (ℤ), toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir değişmeli ve birimli yüzüktür.
• Reel sayılar kümesi (ℝ), toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir cisimdir.
• Polinomlar kümesi (R[x]), toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir yüzüktür.
• n×n boyutlu matrisler kümesi, matris toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir yüzüktür (genellikle değişmeli değildir).

Yüzükler, soyut cebirin temel kavramlarından biridir ve sayı teorisi, cebirsel geometri ve kriptografi gibi birçok alanda uygulama alanı bulur.