integral ne demek?

İntegral, matematiğin temel kavramlarından biridir ve türevin ters işlemidir. Temel olarak, bir fonksiyonun altında kalan alanın ölçüsünü hesaplar. İntegralin birkaç farklı türü ve uygulaması vardır:

1. Belirli İntegral:

• Tanım: Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun altında kalan alanın kesin değerini hesaplar. Bu aralık, integrasyon sınırları olarak adlandırılır.
• Gösterim: ∫_a^b f(x) dx burada:
  • ∫ integral sembolüdür.
  • a ve b integrasyon sınırlarıdır (alt ve üst sınırlar).
  • f(x) integrand (integral alınacak fonksiyon)dır.
  • dx integrasyon değişkenini gösterir.
• Geometrik Anlam: f(x) ≥ 0 ise, belirli integral, x ekseni, f(x) fonksiyonunun grafiği ve x = a ve x = b doğruları ile sınırlanan bölgenin alanını verir. f(x) negatif değerler de alıyorsa, x ekseninin altındaki alan negatif sayılır ve toplam alandan çıkarılır.
• Hesaplama: Belirli integraller, genellikle antitürev (ters türev) kullanarak hesaplanır. Türevin ters işlem olduğu için, ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), burada F(x), f(x)'in antitürevidir.

2. Belirsiz İntegral:

• Tanım: Belirli bir aralık belirtmeden bir fonksiyonun antitürevini bulma işlemidir. Tüm antitürevleri temsil eder.
• Gösterim: ∫ f(x) dx
• Geometrik Anlam: Belirsiz integralin geometrik bir anlamı yoktur, çünkü belirli bir aralık belirtilmemiştir. Ancak, belirsiz integralin türevi, orijinal fonksiyondur.
• Hesaplama: Belirsiz integraller, integral tabloları veya çeşitli integrasyon teknikleri (örneğin, değişken değiştirme, parçalı integrasyon, kısmi kesirler) kullanılarak hesaplanır. Sonuçta bir sabit terim (C) eklenir çünkü antitürevlerin hepsi bir sabit terim kadar farklılık gösterir.

3. Çoklu İntegral:

• Tanım: İki veya daha fazla değişkenli fonksiyonların integralleridir. Örneğin, çift integral (iki değişkenli) bir bölgenin hacmini hesaplamak için kullanılır. Üçlü integral (üç değişkenli) ise bir hacmin içindeki bir büyüklüğün toplamını hesaplamak için kullanılır.
• Gösterim: Çift integral için ∬, üçlü integral için ∭ kullanılır.

İntegralin Uygulamaları:

İntegralin çok geniş bir uygulama alanı vardır, bunlardan bazıları:

• Alan hesaplama: Bir eğrinin altındaki alan, iki eğri arasındaki alan, vb.
• Hacim hesaplama: Katı cisimlerin hacmini hesaplama.
• Ortalama değer teoremi: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değerini bulma.
• Fizik: İş, momentum, enerji, merkez kütle hesaplamaları gibi birçok fiziksel büyüklüğün hesaplanmasında kullanılır.
• İstatistik: Olasılık dağılımları, beklenen değer ve varyans hesaplamalarında kullanılır.
• Mühendislik: Alan hesaplamaları, hacim hesaplamaları, statik ve dinamik problemler, ısı transferi, vb. birçok mühendislik probleminde kullanılır.
• Ekonomi: Tüketici fazlası, üretici fazlası ve diğer ekonomik göstergelerin hesaplanmasında kullanılır.

İntegral, matematiğin ve birçok bilim dalının temel bir aracıdır ve birçok karmaşık problemin çözümünde kullanılır. Ancak, karmaşık fonksiyonların integrallerinin hesaplanması zor olabilir ve bazen sayısal yöntemlere başvurmak gerekir.