halkalar ne demek?
Halkalar, soyut cebirin temel yapılarından biridir ve üzerinde iki işlem tanımlı olan kümelerdir. Bu işlemler genellikle toplama ve çarpma olarak adlandırılır, ancak sayılarla yapılan toplama ve çarpma olmak zorunda değildir.
Temel Özellikler:
- Kümeler: Halkalar bir küme üzerinde tanımlıdır. Bu küme, halkanın elemanlarını içerir.
- İki İşlem: Halkalar üzerinde iki işlem tanımlıdır:
- Toplama (+): Genellikle değişmeli (komütatif) ve birleşmelidir (asosiyatif). Birim elemanı (0) ve her elemanın tersi (eksi) bulunur.
- Çarpma (x veya ·): Genellikle birleşmelidir, fakat değişmeli olmak zorunda değildir. Birim elemanı (1) bulunmayabilir ve her elemanın tersi olmak zorunda değildir.
- Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır:
- a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
- (b + c) x a = (b x a) + (c x a)
Halka Türleri:
- Değişmeli Halka (Komütatif Halka): Çarpma işleminin değişmeli olduğu halkalardır (a x b = b x a). Değişmeli Halka
- Birimli Halka: Çarpma işlemine göre birim elemanı (1) olan halkalardır. Birimli Halka
- Tam Sayı Alanı: Sıfır bölümleri olmayan, değişmeli ve birimli halkalardır. Tam Sayı Alanı
- Cisim: Her sıfırdan farklı elemanın çarpma işlemine göre tersi olan değişmeli halkalardır. Cisim
- Bölüm Halkası: Halkanın bir idealine göre oluşturulan yeni bir halkadır.
Örnekler:
- Tam sayılar kümesi (ℤ) toplama ve çarpma işlemleriyle bir halkadır.
- Reel sayılar kümesi (ℝ) toplama ve çarpma işlemleriyle bir cisimdir (aynı zamanda bir halkadır).
- Polinom halkası R[x], R halkası üzerinde tanımlı polinomlardan oluşur ve toplama ve çarpma işlemleriyle bir halkadır.
Uygulamalar:
Halkalar, sayılar teorisi, cebirsel geometri ve kriptografi gibi birçok matematiksel alanda önemli bir rol oynar. Ayrıca, bilgisayar bilimlerinde de uygulamaları vardır.