halka ne demek?

Halka

Halka, soyut cebirde önemli bir kavramdır. Kabaca ifade etmek gerekirse, toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlı olduğu ve belirli aksiyomları sağlayan bir kümedir.

Temel Tanım:

Bir halka, boş olmayan bir küme (R) ve üzerinde tanımlı iki ikili işlem, toplama (+) ve çarpma (•) ile birlikte aşağıdaki aksiyomları sağlayan bir cebirsel yapıdır:

1. Toplama altında değişmeli grup:

   • Kapanma: Her a, b ∈ R için, a + b ∈ R
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a + b) + c = a + (b + c)
   • Etkisiz Eleman (Toplamsal Birim): Her a ∈ R için, a + 0 = 0 + a = a olacak şekilde bir 0 ∈ R elemanı vardır.
   • Ters Eleman (Toplamsal Ters): Her a ∈ R için, a + (-a) = (-a) + a = 0 olacak şekilde bir -a ∈ R elemanı vardır.
   • Değişme: Her a, b ∈ R için, a + b = b + a

2. Çarpma altında yarı grup:

   • Kapanma: Her a, b ∈ R için, a • b ∈ R
   • Birleşme: Her a, b, c ∈ R için, (a • b) • c = a • (b • c)

3. Dağılma Özelliği:

   • Her a, b, c ∈ R için, a • (b + c) = (a • b) + (a • c) (Soldan Dağılma)
   • Her a, b, c ∈ R için, (b + c) • a = (b • a) + (c • a) (Sağdan Dağılma)

Önemli Kavramlar ve Çeşitler:

• Birimli Halka: Çarpma işlemine göre birim elemanı olan halkadır. Yani, her a ∈ R için, a • 1 = 1 • a = a olacak şekilde bir 1 ∈ R elemanı vardır.
• Değişmeli Halka: Çarpma işleminin değişme özelliğine sahip olduğu halkadır. Yani, her a, b ∈ R için, a • b = b • a.
• Tamlık Bölgesi (İntegral Bölge): Sıfır bölümleri olmayan, birimli ve değişmeli halkadır. Tamlık Bölgesi
• Cisim (Alan): Her sıfırdan farklı elemanın çarpma işlemine göre tersinin olduğu, birimli ve değişmeli halkadır. Cisim (Alan)
• İdeal: Halkanın özel bir alt kümesidir ve halka işlemlerine göre belirli koşulları sağlar. İdeal
• Halka Homomorfizması: İki halka arasındaki yapıyı koruyan bir fonksiyondur. Halka Homomorfizması

Örnekler:

• Tüm tam sayılar kümesi (Z) toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir halkadır.
• Tüm reel sayılar kümesi (R) toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte bir cisimdir (dolayısıyla bir halkadır).
• n x n matrislerin kümesi toplama ve matris çarpımı işlemleriyle birlikte bir halkadır. (n>1 ise değişmeli değildir)